インターンの実施期間がかぶってる場合どちらかあきらめるしかないのでしょうか？

一度担当者に確認し、日程をずらせるかを確認したほうがいいと思います。

別日程があるか確認してあればずらせないか連絡し、できない場合にはどちらが志望度が高い方やインターンの評価が本選考や早期選考につながる方を選ぶとよいと思います。