TOEICの勉強はすべきでしょうか？

TOEICを重視する企業や仕事の場合は必要です。逆に全く求めない企業もありますので、その場合は必要ないと思います。

採用条件で求められる企業もありますので、ご自身の行きたい企業によりけりだと思いますので必要であれば勉強しておいた方が良いと思います。